数理学府 数理学専攻

理学部 数学科 数学

博士（理学）

位相幾何学，トポロジー

可微分写像の大域的特異点論を研究している。多様体という幾何学的対象の全体としての構造（大域的構造）を調べるのに、その上の可微分関数が役立つことが古くから知られていた（いわゆるモース理論）。その理論を多様体間の可微分写像に拡張しようという試みが、1950年代にトムによって始められたが、多様体の各点のまわりに現れる特異点（局所的特異点）の複雑性が原因で、その後の研究はあまり進められてこなかった。そこで私は、特異点のタイプを簡単なものに限ったり、次元が低い場合に焦点を絞ったりして、多様体間の写像と、多様体の構造の関係について研究を進めている。

可微分写像の特異点は、これまでかなり研究されてきているが、ほとんどは局所的振る舞いを調べるにとどまり、大域的研究は今までほとんどなかった。さらに、このような特異点論の観点から可微分多様体の構造を研究することは、意外なことに今までほとんどされてこなかった。これまでの私の研究により、多様体間の写像の特異点が、多様体の構造の本質的な部分を担っていることが明らかにされており、こうした研究が位相幾何学において重要であることが認識されるようになってきている。

上記研究以外にも、位相的埋め込みの第一障害類、余次元1写像の分離性質、複素超曲面の孤立特異点の位相幾何、ファイバー結び目、4次元多様体、余次元1の埋め込み、空間曲線の微分幾何学的不変量、結び目解消数など、位相幾何学のさまざまな分野を幅広く研究している。さらに、位相幾何学とはあまり関係がないが、一般化されたフィボナッチ数列の漸近挙動についても精力的に研究を行っている。なお、トポロジーの他分野への応用にも興味を持って研究しており、DNA結び目、多値関数データのための視覚的解析などの研究も行っているほか、トポロジーを使って物質・材料の性質をミクロなレベルから考察することにも興味を持っている。