数論幾何　微分幾何　複素解析

2000年までは算術的リーマンロッホの定理の研究をしてきた. その成果は

(a) 任意次元, スムースな計量と射影的射の場合に, 算術的グロタンディック・
リーマンロッホの公理的アプローチを完成することができた.

(b) 曲線の場合のドリーニュ・リーマンロッホ等長を特異計量の場合に強めた形で拡した.

一般に特異計量ではラプラシアンは離散スペクトルだけでなく連続スペクトルを持つ.
よって標準的な Quillen の処方せんが働かない. この困難を解決したことが (b) の
意義である. これを応用してアイゼンシュタイン級数を利用した半安定点つき曲線の
モジュライ空間の研究, セルバーグゼータ関数とグリーン関数の研究が進んだ. 最も
重要な貢献は, Weil-Peterson, Takhtajan-Zograf そして対数的 Munford 直線
バンドル（これらは WP 計量, TZ 計量, セルバーグゼータ関数によって自然に関連
づけられるバンドルである）の間に成り立つ最も基本的な関係式のいくつかを確立
したことである.

自然な延長として半安定ベクトルバンドルと数体上のリーマンロッホの研究に移った.
半安定バンドルに関しては Weil-Narasimhan-Seshadri 対応と標準的淡中カテゴリー
理論を用いてリーマン面の完全な非可換類対論を定式化できた.

さらに有限体上の半安定バンドルのモジュライの研究によって Artin ゼータ関
数の標準的一般化を得た. これらの非可換ゼータ関数は自然に曲線の非可換算術的側面
に関連する. しかもこれらは有理性と関数等式も満足する. オイラー積の処方せんに
よっても有限体上の曲線に対して非可換ゼータ関数を構成できる.これは Hasse-Weil
ゼータ関数を一般化するものである.

数体については次の基本的な観察を行った(新たな視点の導入) : $h^i$ のコホモロジー
理論と安定性の概念は未知のもであったが, Tate の学位論文と Munford の GIT をヒン
トにして, 1 次元の場合にある種のリーマンロッホが成り立つような新しいコホモジー
理論を導入し, 半安定格子のアデリックモジュライ空間を構成しその上に自然な玉河型
の測度を導入した.

こうして, 研究は 2 次元交点理論とコホモロジー理論の構築へと発展する. Weil が
Artin ゼータ関数に対してリーマン予想を解決できたのは 2 次元交点理論を展開したお
かげだったことを思いだそう. この方向で数体の場合にはどこまで行けるのだろうか ?
そのために Explicit Formula と関数等式をもとに構築される 6 個の公理を満たす交点
理論の算術的モデルを導入した. 形式的にHodge 指数定理(幾何ではコホモロジーと1,2
次元交点理論と豊富の概念の関連から従う)を仮定すると幾何における Weilのアプロチ
が数体上でも同じように機能することがわかった.

200０年からは、代数体の非可換ゼータ関数と既約群のゼータ関数導入し、それらの リーマン 予想を証明しました。
詳細な議論は私の本 "Zeta Functions for Reductive Groups and Their Zeros" の各部に参照してください：
第一部　非可換ゼータ関数　
第二部　階数２のゼータ関数　
第三部　Eisenstein 周期と多重 L-関数 　
第四部　既約群のゼータ関数　
第五部　代数と解析の構造とリーマン予想　
第六部　解析の構造とリーマン予想　
付録部（菅原弘太郎と）　算術コホモロジー関する 5 つの論文

最近、新しい高階代数幾何符号理論を創り出しました。さらに数論的な特性曲線導入しました。